2.2.2　反函数的求导法则

已经解决了对数函数和三角函数的求导公式，下面需要解决它们的反函数指数函数和反三角函数的求导，为此给出如下定理.

定理2　如果函数x=φ（y）在区间I内单调、可导，且φ（y）'≠0，则其反函数y=f（x）在相应区间内也可导，且

证明　由于互为反函数x=φ（y）与y=f（x）在各自相应的区间内单调性是一致的，所以，当Δx≠0时，Δy≠0，则

函数x=φ（y）在区间I内可导且φ（y）'≠0，则函数x=φ（y）在区间I内必连续，则其反函数y=f（x）在相应区间内也连续，即当Δx→0时，Δy→0，所以

即

简言之，某函数反函数的导数等于该函数导数的倒数.

例6　求函数y=arcsinx和y=arctanx的导数.

解　因为y=arcsinx（-1<x<1）的反函数为，它们在各自的定义区间内单调、可导，且有

因为y=arctanx（-∞<x<+∞）的反函数为，它们在各自的定义区间内单调、可导，且有

所以

同理可推得

（ax）'=axlna，（ex）'=ex.

例7　求函数的导数.