1.2.2　函数的极限

1.函数当自变量x→∞时的极限

自变量x→∞包括两个方向：x→-∞和x→+∞.下面分别讨论在它们的变化趋向时，函数f（x）的变化趋势是什么.

例3　（1）设，考虑当x→+∞时，函数值的变化趋势；

（2）设f（x）=2x，考虑当x→-∞时，函数值的变化趋势；

（3）设，考虑当x→-∞时，函数值的变化趋势；当x→+∞时，函数值的变化趋势.

解　（1）由图1-16可以看出，当自变量x沿着x轴正向无限增大，表示为x→+∞时，函数的值无限趋近于0.

（2）由图1-17可以看出，当自变量x沿着x轴负向无限减小，绝对值|x|无限增大，表示为x→-∞时，函数f（x）=2x的值无限趋近于0.

（3）由图1-18可以看出，当x→-∞时，函数的值无限趋近于0；当x→+∞时，函数的值也无限趋近于0，将这种情况表示为x→∞时，函数的值无限趋近于0.

一般地，可以给出如下定义：

定义2　如果x>0且无限增大时，对应的函数值f（x）无限接近于一个确定的常数A，则称常数A为函数f（x）当x→+∞时的极限.记作

或f（x）→A（当x→+∞）.

如果当x<0且|x|无限增大时，对应的函数值f（x）无限接近于一个确定的常数A，则称常数A为函数f（x）当x→-∞时的极限.记作

或f（x）→A（当x→-∞）.

从前两个定义的形成很容易得出下概念：

定义3　如果当x的绝对值x无限增大时，函数值f（x）无限接近于一个确定的常数A，则称常数A为函数当x→∞时的极限.记作

=A或f（x）→A（当x→∞）.

定理1　

的充分必要条件是.

发现：即使 和 都存在，但不相等，则 也不存在.

例4　考察极限.

解　如图1-19所示，因为

2.函数当自变量x→x0时的极限

自变量x→x0包括x0左、右两个方向：左方向是指x从小于x0即从x的左侧无限趋近于x0，记作x→x0-；右方向是指x从大于x0即从x的右侧无限趋近于x0，记作.下面分别讨论在它们的变化趋向时，函数f（x）的变化趋势是什么.

（1）左、右极限（单侧极限）

例5　设车票票价退票制度规定如下：票面的乘车站距开车前48h以上的，退票时收取票价5％的退票费；开车前24h以上、不足48h的，退票时收取票价10％的退票费；开车前不足24h的，退票时收取票价20％退票费，新规定可以提前60天购买火车票.考察在时间结点24h和48h退票费百分率的变化趋势.

解　退票费百分率y与开车前所剩时间x的函数关系为

如图1-20所示，这是分段函数.

当退票时间x<24，x→24-时，即从x=24的左侧趋近于24时，相应退票费百分率函数y的值无限趋近于20；当退票时间x>24，x→24+时，即从x=24的右侧无限趋近于24时，相应退票费百分率函数y的值无限趋近于10，分别可表示为

同理，

一般地，可以给出如下定义：

定义4　设函数f（x）在x0的左半邻域（x0-δ，x0）内有定义，如果自变量x从x0的左侧无限趋近于x0时，相应的函数值无限趋近于一个确定的常数A，则称常数A为函数f（x）在点x0处的左极限.记作

设函数f（x）在x0的右半邻域（x0，x0+δ）内有定义，如果自变量x从x0的右侧无限趋近于x0时，相应的函数值无限趋近于一个确定的常数A，则称常数A为函数f（x）在点x0处的右极限.记作

例6　设函数讨论函数f（x）在点x0处的左、右极限.

解　函数的定义域为R，函数f（x）在点x0处的左极限为，右极限为，所以.

上述考虑的是x或从x0的左侧或从x0的右侧无限趋近于x0时函数的极限问题.但是有时需要考虑x从左、右两侧同时趋近于x0的情形.

（2）函数f（x）当x→x0时的极限

定义5　设函数f（x）在x0的去心邻域（x0，δ）内有定义，如果自变量x从x0的左、右两侧同时无限趋近于x0时，相应的函数值均无限趋近于一个确定常数A，即

lim x→x0-f（x）=A　且　lim x→x0+f（x）=A

则称常数A为函数f（x）在点x0处的极限.记作

此时称为函数在点x0处的极限存在或收敛，否则称为极限不存在或发散.

例7　观察下列极限，并根据定义写出其极限.

解　根据定义可得：

发现：（1）以后可直接运用 ， ， ；

（2）去心邻域 （x0，δ）是区间（x0-δ，x0）∪（x0，x0+δ）；

（3）在x→x0的过程中，自变量x始终不会等于x0，所以函数f（x）在点x0处的极限与函数在点x0处是否有定义无关.

定理2　

的充分必要条件是.

例8　设函数f，求和.

解　函数f（x）的定义域为R，因为

根据定理2， ，推得 不存在，因此函数f（x）在点x=0处发散.

因为

根据定理2知， ，推得 ，因此函数f（x）在点x=1处收敛.

讨论探索：如图1-21所示，仔细观察，当x→x0时，f（x）→A，无论对于自变量x还是对于函数y，应该重点关注哪个范围？

可以解释为：对于给定的ε，点x0的邻域（x0-δ，x0+δ）内的任意点x（可以允许x≠x0）的纵坐标f（x）满足不等式A-ε<f（x）<A+ε.

由此，函数f（x）在点x0处的极限又可以描述成：对于∀ε>0，∃δ>0，当0<|x-x0|<δ时，恒有|f（x）-A|<ε.